Đề thi HSG môn Toán !! ai muốn thử sức .

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm)
Cho phương trình , m là tham số.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn:
b) Khi phương trình có hai nghiệm , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 2 (4,0 điểm)
Giải phương trình: .
Câu 3 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi P, Q là hai điểm thoả mãn:
.
Chứng minh rằng ba điểm P, Q, G thẳng hàng.
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC không trùng với B và C.
Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh rằng: .
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho a,b,c là ba số thực đôi một khác nhau, chứng minh rằng:


Câu 6. Cho hệ phương trình:
trong đó a, b, c là tham số và x, y là ẩn.
Tìm a sao cho tồn tại c để hệ có nghiệm với mọi b.